。柯林斯积分也称柯林斯公式，是计算光波通过傍轴光学系统的衍射计算公式。在应用研究中，当初始平面的光波场的空间变化率不高时，柯林斯公式可以足够准确地变换为由菲涅耳函数表示的计算式，而菲涅耳函数可以足够准确地用代数式快速计算。用菲涅耳函数计算柯林斯公式的研究具有实际意义。

　　本文介绍两种不同的菲涅耳函数计算公式：其一摘自美国学者A. E. Siegman的专著《Lasers》[3]，其二是作者导出的计算公式[2]。我们将对两种菲涅耳函数的计算公式精度进行比较，并给出用菲涅耳函数计算柯林斯公式的一个激光工业应用实例。

　　最后，通过菲涅耳衍射积分的研究，导出采用菲涅耳函数计算一些特殊衍射问题的计算公式及相应的实验证明。

　　提前回到学校的彭颖与师弟黄金鑫和师妹赵雯丽商量后，通过两天努力，在师弟和师妹的协助下，开学前完成了她期望进行的彩色数字全息实验。正当他们为得到满意的实验结果而高兴之时，没注意樊老师进了实验室。

　　“啊！樊老师，还不错，托师弟和师妹之福，今天光路调整很顺利。”彭颖回答后，请樊老师到电脑前坐下，在电脑前给樊老师展示了她根据全息图重建的彩色图像……

　　看完实验结果后，樊老师站起身说道：“实验非常不错！今天我想让你们做一项有意义的工作。”说着，面向几位研究生拿出他带来的一本书。

　　樊老师说道：“你们今后的研究课题都涉及衍射数值计算。目前，衍射的数值计算基本上采用快速傅里叶变换 (Fast Fourier transform,FFT)，但是，在这本书中有衍射调制函数法计算衍射的方法。由于该方法只涉及菲涅耳函数的计算，书中导出了菲涅耳函数的近似计算公式。在你们熟悉FFT算法之前，为加深对菲涅耳衍射积分的理解，我与小彭的指导老师商量过，请小彭帮忙，让你们两人进行一点研究工作。”

　　樊老师将所带来的《激光的衍射及热作用计算》[2]一书交给赵雯丽，接着说道：“这本书现在已经买不到了，现留给你们，以后还给我就行。我想让你们做的工作是：

　　一、将书中衍射调制函数法计算衍射的公式改写为能用于直边衍射、狭缝衍射及圆孔衍射的计算式。

　　说完后，樊老师又补充道：“在实验室进行直边衍射、狭缝衍射及圆孔衍射等实验很容易。通过理论计算与实验测量的比较，可以加深对菲涅耳衍射积分的理解，对你们今后的深入学习算是一个热身。”

　　彭颖是宋老师的研究生，听完樊老师的话，她立即作了回答：“没问题的，樊老师。我已经有这本书，我看过书中的衍射积分在空域计算这一章，但还没有实际应用过。现在，我们基本都用后来李老师和熊先生写的《信息光学教程》第2版[4]提供的FFT计算程序计算衍射了。”

　　“谢谢小彭！”针对所做工作的意义，樊老师再补充说了一些话后，便离开了实验室……

　　樊老师走后，彭颖与师弟师妹进行了讨论。按照讨论结果，黄金鑫负责任务一，即导出用菲涅耳函数表示的直边、狭缝及圆孔衍射的计算式，樊老师留下的书先让他看。

　　对于任务二，他们三人搭建的三种色光照明的彩色数字全息光路还在，实验室有准确知道直径的钢丝及圆孔光阑，只要关闭两种色光，遮住剩下一种色光的参考光，便能用CCD记录下不同遮挡物的衍射图像，可以很快做实验。

　　在讨论任务三时，彭颖说：“我本科学习的《信息光学教程》中[4]，有另外一种菲涅耳函数的近似计算公式，书中给出的参考文献是Siegman的专著 《Lasers》。顾德门的《傅里叶光学导论》第4版介绍柯林斯公式时，这本专著还是参考文献呢。看来Siegman是一个知名的光学专家。不妨同时用这个公式及李老师导出的公式进行衍射计算，然后与实验研究进行比较，这样则能知道两种公式哪一个更精确。”

　　“我来做这件事吧。”赵雯丽自告奋勇地说她来完成这项工作，并且补充说道：“师姐，菲涅耳函数的数值计算用MATLAB编程很方便，既然你能找到另外一个菲涅耳函数的数值计算公式，我觉得可以将MATLAB编程计算的结果作为准确值，理论上考查李老师及国外学者导出的公式的误差，这在理论上更能说明问题。我不知这个意见是否恰当？”

　　“当然好！我在《傅里叶光学导论》第4版中就看到菲涅耳积分可以通过查表或MATLAB计算。”彭颖同意后，接着又说：“我们三人建一个微信群吧，这样便于交流。”

　　当天晚上，彭颖便在《信息光学教程》第2版中找到Siegman给出的菲涅耳函数近似计算式。于是，她发了下面微信。

　　两式只能求数值解，估计国内外存在不同形式的近似计算式。Siegman在其专著《Lasers》中给出的菲涅耳函数的计算公式在《信息光学教程》第2版的第2章有介绍。该近似式是：

　　基于菲涅耳函数的计算公式，《激光的衍射及热作用计算》第3章介绍了初始平面是一个矩形孔时光波通过由2×2矩阵元素

　　描述的光学系统衍射的计算方法。对于衍射距离为d的衍射计算问题，对应的光学矩阵可以简化为

　　。因此，只要令书中公式中的A=1、B=d、C=0以及D=1便能进行樊老师让我们做的工作。最重要的是导出的公式要与实验测量作比较。

　　根据我们所做的实验，因照明光已经较好地扩束和准直，可以将照明光视为均匀平面波。此外，由于我们用CCD记录的是衍射场的强度图像，目前只需要导出形成能计算衍射场强度的公式。

　　没想到，赵雯丽第二天便得到结果。她用已经比较熟悉的MATLAB软件通过积分语句来计算菲涅耳函数，并以此为标准，考察了A. E. Siegman及李老师的近似公式的准确性。研究结果表明，两种公式具有基本相同的精度，从严格的理论意义上看，李老师的近似公式的精度还略胜一筹。于是，她发了下面的微信。

　　我用MATLAB编程比较的结果表明，A. E. Siegman及李老师的近似公式具有基本相同的精度。但从严格的理论意义上看，李老师（LIJC）的公式要更好一些。请看比较结果。

　　从以上两图比较可以看出， 除了Siegman公式计算S(x)时在零点附近出现微小负值，与菲涅耳函数的定义不附外，两种计算公式的计算曲线相近，很难看出区别。

　　为进一步作定量比较，以下两图分别给出两种计算公式的计算值与MATLAB积分运算值的差值曲线π计算范围两种计算公式的平均绝对误差。

　　图3 LIJC公式与Siegman公式计算值与MATLAB积分运算值的差值曲线

　　应该说，LIJC公式相对于Siegman公式要更接近MATLAB的积分运算值。

　　小赵进行的理论研究很好！昨天我在学校遇到李老师。当我说到你们的工作时，李老师非常感兴趣。他说，二十多年前他曾经利用他导出的菲涅耳函数计算公式去解决过许多实际衍射计算问题，特别是能用于实际激光热处理中曲面工件表面的衍射场强度快速计算，由于得到与实验非常接近的结果，便将其写在《激光的衍射及热作用计算》一书了。现在，《傅里叶光学导论》第4版中，顾德门教授将菲涅耳函数称为菲涅耳积分，并且指出，其计算可以通过查表或MATLAB等软件计算。李老师认为，由于菲涅耳函数在衍射计算中的重要性，如果有一个计算公式能快速准确地计算无疑是重要的。但是，他以前导出的公式与Siegman公式究竟哪一个更准确，他还未进行过比较。看到你们的研究结果让他非常高兴，现在他觉得心里较踏实了。

　　没想到，今天早上我收到李老师的微信，原来，李老师昨晚仔细研究赵雯丽的C(x)与S(x)计算值与MATLAB积分运算值的差值曲线区间对菲涅耳函数用 “牛顿——科茨”数值积分公式表示后，可以到精度更高的表达式。虽然形式上略复杂，但编程计算时间仍然略低于Siegman公式。

　　[5]，并且该光学系统的主体可以通过水冷应用于工业大功率激光热处理生产线，后来在法国用于提高汽车零件的激光热处理质量的研究，取得很好的成果[6-7]。在实际研究过程中发现，由于材料的热扩散作用，获得均匀的材料表面的激光扫描强化层时并不需要激光是均匀分布，而是在垂直于扫描方向两侧较强的马鞍形强度分布，具体分布还取决于扫描速度及材料的导热性能。为定量研究这个问题，通过热传导理论及铁基材料的马氏体相变理论的学习，李老师在理论上导出当扫描工件为平面时，获得一个均匀相变层时扫描光束的强度分布形式如图5所示[6]。

　　[5-6]。然而，实际激光热处理工件表面通常不是平面，为便于根据光斑强度及时调整热处理工艺，原来只计算光学系统中理想叠像平面光斑强度的理论公式不再适用，需研究任意给定调整状态及任意给定热处理表面光强分布的快速计算式，才能为后续的热作用计算及热处理工艺制定提供依据。为此，李老师基于柯林斯公式对光学系统导出由菲涅耳函数表示的计算公式，该公式可以计算到达任意曲面上的光强分布。但菲涅耳函数的计算非常繁杂，为实现快速计算，通过认真研究，才导出这个足够准确的菲涅耳函数代数运算式。这些工作，为光学系统的实际应用提供了很大的便利。

　　看过樊老师发来的信息，黄金鑫阅读了《激光的衍射及热作用计算》第3章，特别认线节菲涅耳衍射调制函数的讨论。虽然大学本科学习中未见到过柯林斯公式，但他将A=1、B=d、C=0以及D=1代入柯林斯公式即得到已经很熟悉的菲涅耳衍射积分。根据这一节的学习，他已经知道第3节的主要内容是：当光学系统初始平面是给定复振幅的光波照明矩形孔时，可以利用菲涅耳函数近似计算光波通过光学系统的衍射场。

　　我已经看懂《激光的衍射及热作用计算》书中是如何利用菲涅耳函数来计算光波通过光学系统的衍射了。近似计算的思路是这样的：在衍射空间建立直角坐标系O-xyz，令光轴与z轴重合，将初始平面的光波场分解为若干小的方形或矩形区构成，让每一小区域的边界分别与坐标x，y平行。此后，将每一小区域的光波场按照泰勒级数展开，略去二次以上的高次项后再代入柯林斯公式，则可以形成由菲涅耳函数表示的计算每一矩形区域光波通过光学系统的计算式。按照线性叠加原理，对初始平面上每一矩形区域的衍射场叠加，则可以获得初始平面是任意透光孔时观测平面的衍射场。虽然用FFT计算效率较高，但计算是对二维观测平面上的所有点进行的，利用菲涅耳函数计算时可以对任意给定的观测点作计算。正如樊老师微信说的，如果观测面是曲面，这种算法有实际意义。

　　，为光波长，矩形孔的一个边与y轴重合，透光孔在x轴正向，均匀平面波照明的直边衍射场复振幅公式是

　　为(xn,yn)的小方形孔足够好地拼接近似，设小孔边长为Δ，菲涅耳衍射积分可以近似表示为

　　复振幅分布U0(x,y)的照明光通过任意形状孔S的衍射计算。对于圆孔衍射，若照明光是圆对称分布，只需要计算沿x或y正向的一些点，最后便能用程序综合出衍射场。

　　圆孔衍射的计算，由于圆对称性，只需要按照公式（11）进行x轴正向一序列点的衍射场强度计算，便能综合成二维平面的衍射场。我们做的实验是直径1 mm的孔经过距离10 m的衍射，衍射图像远大于CCD的窗口，衍射斑是用手机拍摄的。我在手机拍摄图像上选择宽度L=6 mm的区域作为实验比较图。按照L=λd/Δ的公式，由于我们实验用的激光波长是0.000632 mm，可以求出Δ=λd/L=0.1 mm。选择N=L/Δ=600进行计算。由于照片中央斑的强度过饱合，在模拟计算时，我在模拟计算时将归一化强度大于1/20的区域均视为1进行显示，这就是实验测量与理论模拟的比较。

　　在理论模拟图中，我用绿色线标出了观测平面模拟研究的xy坐标，坐标原点即两线的交点。实验图像上准确标出坐标较难，就省略了。事实上，在x轴负向存在衍射光，图7中x轴向的强度曲线。

　　理论模拟是将照明光视为理想均匀平面波，但实际上我们实验时的照明光没有理想均匀，因此，会出现实验图像的强度在x轴正向有增加的趋势。但对于衍射条纹的分布，我在计算机上移动鼠标，通过图像的像素数量比较。在鼠标移动时可分辨的范围内，衍射明暗条纹的理论模拟与实验测量吻合非常好。

　　图11 衍射距离1000 mm的直边衍射测量图像与理论模拟图像比较（图像宽度6 mm）

　　图12 衍射距离200 mm的钢丝衍射测量图像（a）与理论模拟图像（b）比较（图像宽度6 mm）

　　图13 衍射距离500 mm的钢丝衍射测量图像（a）与理论模拟图像（b）比较（图像宽度6 mm）

　　图14 衍射距离1000 mm的钢丝衍射测量图像（a）与理论模拟图像（b）比较（图像宽度6 mm）

　　对于宽度为2 mm的方孔衍射，那天实验是用手机拍摄了由坐标纸记录的图像。由于照片中央斑的强度过饱合，模拟计算时我将强度大于最大强度1/50的区域均视为255进行显示，这样则较好地看出周边的衍射条纹。应该说，无论采用Siegman的计算公式或者是李老师导出的公式，理论计算均与实验测量相当吻合。

　　但又十分感叹：现在有了计算机，模拟计算菲涅耳衍射实验真方便。如果这些模拟计算也能用于实际，那该多好！

　　柯林斯公式是1970年由柯林斯（Collins S. A.）提出的，柯林斯将矩阵光学与菲涅耳衍射积分相结合，基于程函理论导出了这个公式。该公式可以准确地计算光波通过2×2光学矩阵描述的光学系统的衍射。2017年，光学名著《傅里叶光学导论》第4版介绍了柯林斯公式。作者寻思，如果该公式的提出时间早于1968年，顾德门（Joseph. W. Goodman）教授在《傅里叶光学导论》第1版无疑会对该公式进行介绍。这样，柯林斯公式现在必然是从事近代光学研究的科技工作者更为熟知而获得广泛应用的衍射计算式。

　　柯林斯公式的计算通常采用快速傅里叶变换进行，但计算前必须知道组成光学系统的所有部件的2×2光学矩阵元素。准确测量每一部件之间的间隔，按照光波通过光学系统的顺序，让所有部件及衍射空间光学矩阵作乘积运算才能获得光学系统的光学矩阵。当光学系统的部件较多时，确定每一光学部件的矩阵元素及准确测量每一部件间的距离是一件细致而繁杂的工作，容易形成累计误差，其误差将导致衍射计算误差。

　　客座教授，先后在法国里昂应用科技学院、法国里昂中央理工大学、法国巴黎高等工业大学、法国国家科研中心及法国缅茵大学合作科研或指导博士生。几十年来，在法国巴黎光学院等多所知名大学及国内中国科学院研究生院、清华大学、国防科技大学、西北工业大学、北京邮电大学、北京理工大学、北京工业大学、四川大学、成都光电所、上海光机所、香港城市大学及台湾师范大学等数十个知名科研院所进行过多次专题学术讲座。在物理光学领域的主要研究成果是修改了国内外50多年来一成不变的相干光成像近似理论。

　　1、《激光热处理优化控制研究》（冶金工业出版社1995年）；2、《激光的衍射及热作用计算》（科学出版社2002年第一版，2007年修订版）；3、《信息光学理论与计算》（科学出版社2009年）；4、《信息光学教程》（科学出版社2011第一版，2017年第二版）；5、法文专著《数字全息》Holographie numérique（法国巴黎：HERMES科技出版社2012年）；6、《衍射计算及数字全息》（科学出版社2014年中文版，2016年英文版）。

　　改革开放后主要从事科研及教学，但美术作品2019年及2021年入选云南省美展。